第二十章 问答

庞绍安和姚建中面面相觑，即使庞绍安知道自己孙子不是那种满嘴跑火车的人，可BSD猜想的地位在那儿，这种级别的难题，被一个23岁的年轻人给证出来了，想想就有种魔幻现实主义的感觉。

一时间，小院陷入了一种诡异的寂静之中。

“小林，你怎么杵在院子里呢，来，帮奶奶择菜。”

奶奶王秀芳从屋子里走了出来，见众人一脸呆滞的模样，不由得出声道。

“还择什么菜，小林，走，我们去书房，你论文带了吗？我要先看看。“

庞学林微笑道：“爷爷，论文我已经上传到arXiv了，邮箱里也有，可以直接下载。”

“我也去！”

姚建中也跟着起身道。

“你们这是怎么了？”

王秀芳看着迫不及待的庞绍安和姚建中，有些不解道。

来到书房，庞学林登上邮箱，将论文直接下载下来，交给庞绍安审阅。

姚建中则坐在一旁，不时瞅瞅庞绍安和庞学林。

他是理论物理学家，BSD猜想这种级别的数学论文，他自然看不懂，不过这并不妨碍他在一旁看热闹。

之前他老伴想把自己的宝贝孙女介绍给庞学林，他还有些微词。

在他看来，庞学林太过于专注学术，性子虽然不算木讷，但也不是那种特别多话的人，自己孙女活泼好动，和他在一起，两人未必能合得来。

但现在，庞学林的表现却让他刮目相看。

如果庞学林真的证明出了BSD猜想，那三年后庞学林必得菲尔兹奖。

二十六岁的菲尔兹奖得主，应该是破纪录了，这样一位学者，未来的成就几乎不可限量。

自己的孙女虽然是北舞的一枝花，但从某种程度上说，还真不一定配得上庞学林。

庞学林和庞绍安自然不知道姚建中乱七八糟的想法，此时，庞绍安所有的心思都沉浸在庞学林的论文之中，一页一页慢慢翻看。

庞绍安主要研究领域是微分几何与拓扑学，因此，这篇BSD猜想的证明论文对他而言有些吃力。

大概看了半小时，庞绍安便摘下老花镜，摇头道：“老了老了，小林，你这篇论文，说实话爷爷我有些跟不上了，不过我大概还是看懂了你的证明思路，你是从同余数问题着手的，对吧？”

庞学林点了点头，竖起了大拇指道：“爷爷你果然慧眼如炬！”

庞绍安摆了摆手道：“臭小子，出国读了几年书，倒是学会拍马屁了，我是不行了，待会儿等小刘过来，让他看看，他在数论与代数几何领域都有很深的研究，他应该能看明白。“

姚建中笑道：”老庞，没想到你也有搞不定的时候。”

庞绍安瞪着眼道：“也就是我现在年纪大了，要是放在年轻的时候，我啃上几个月，肯定能把这篇论文搞明白。”

“哼，你就臭屁吧！”

姚建中不屑道。

这两位老头互怼是常态，庞学林笑眯眯的看着，也不参与。

没过一会儿，王秀芳带着一个脑袋有些秃顶，戴着眼镜的中年男子走了进来。

来人正是江城大学数学科学学院院长刘廷波。

刘廷波笑道：“庞教授，姚教授，你们好。”

接着，他将目光转向庞学林，说道：“小庞，你这回在数学界放了颗原子弹啊！”

庞学林有些好奇道：“刘院长，我今天凌晨才把论文上传到arXiv，你们怎么这么快就知道了？”

刘廷波道：“还不是托你那位老师的福，陶哲轩看完你的论文后，第一时间联系了德利涅、法尔廷斯、丘成桐这些大佬，说你很有可能解决了BSD猜想的问题，然后把论文分享给了他们。也不知怎么回事，这本来是小圈子里的事，结果一下子给传出去了，现在整个数学界都沸腾了。邱教授没有你的联系方式，直接把电话打到我头上，我还一脸懵着呢！我说你这次，该不会是给我放卫星吧？”

庞学林微笑道：“刘院长，论文在这呢，要不你先看看？”

庞绍安也跟着说道：“小刘，你是代数几何与数论领域的专家，正好给小林把把关！”

刘廷波苦笑道：“庞教授，把关我可不敢当，小庞要是真解决了BSD猜想，都可以当我老师了！”

话虽然这样说，刘廷波还是坐在了电脑前，仔细看了起来。

一边看，他一边还时不时就论文中的一些疑问和庞学林做交流。

“小庞，这里假定D无平方因子，简单的初等考量显示D为同余数等价于椭圆曲线E_D: y^2=x^3-D^2x上有某个y \neq 0的有理点。可以证明这样的点不属于T，于是D为同余数又等价于r_D>0。（同余数问题）决定所有同余数D，使得r_D>0。对于给定素数p，(1)p \equiv 3(\mod 8)：p不是同余数但2 p是同余数；(2)p \equiv 5(\mod 8)：p是同余数；(3)p \equiv 7(\mod 8)：p和2 p都是同余数。你使用的工具是Heegner点的高度理论，你是怎么将它和L'(1，E)联系起来的？还有，你是如何确定D均为同余数的？“

庞学林在三体世界的时候便经受住了那些顶尖数学家的狂轰乱炸，对付这种问题应付起来轻松异常，对答如流道：”关于E的Weil-Hasse函数L(s，E)的定义，一个经典结果是a_p有Hasse上界2\sqrt{p}，这推出L(s，E)对\mathrm{Re}\， s>\frac{3}{2}收敛。然后我们根据Gross-Zagier公式，就可以将其与L'(1，E)联系起来。另外，BSD猜想对E_D成立。特别的，r_D>0当且仅当L(1，E_D)=0。假定弱BSD猜想成立，则(1)理论上我们能够判定D是否为同余数；(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法；(3)可以证明D \equiv 5，6，7(\mod 8)时r_D为奇数，故这样的D均为同余数。“

刘廷波思索了片刻，满意地点了点头，过了一会儿，他又问道：“你这里说，L(s，E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比，你是怎么得出这样的结论的？还有这里，E(Q)(Mordell-Weil群)有自然的交换群结构，你前面根据Mordell定理进一步断言E(Q)是有限生成的：E(Q)=\Bbb Z^r \oplus T，此处挠群T是某个有限Abel群，r称为E的秩。我们对T的了解是完全的：Mazur决定了所有15种可能的T。那么R呢？你这里是不是缺少了对R的有效刻画？“

庞学林道：“基于Eichler， Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，现在知道L(s，E)可解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。BSD猜想在R等于L(s，E)在s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下，已知BSD猜想对m=0.1成立，故L(s，E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比，更进一步的话，又可以推出Tate-Shafarevich群的有限性。”

刘廷波沉吟了半晌，竖起大拇指道：“你从同余数问题上间接证明了BSD的弱猜想，再由此扩展成广义BSD猜想，这种办法真是绝了！”

……

接着，刘廷波与庞学林一问一答，几乎每一个问题，庞学林都能不假思索地给出答案。

时间一分一秒过去，就连王秀芳做好了晚饭，上来想要叫他们吃饭，也被庞学林与刘廷波之间的问答所吸引，看了半天后，王秀芳悄悄地退出了书房，不去打搅他们。

一直到晚上十点，刘廷波才彻底将这篇论文彻底审阅完毕，两人之间的问答也随之结束。

一旁的庞绍安和姚建中虽然跟不上两人的思路，但情绪也始终处于亢奋状态。

他们看得出来，在这一问一答中，一个世界级的难题，正在从庞学林手中徐徐解开。

这种亲眼见证一个世界级数学难题慢慢展露真颜的过程，让在场的所有人都兴奋不已。

庞绍安看着刘廷波道：“小刘，小林的证明怎么样，你觉得他成功了吗？”

刘廷波道：“庞教授，我不敢说小庞百分之百证明了BSD猜想，对这篇论文，我有八九成把握。小庞，你看这样如何，你这篇论文才上传arXiv不久，我们等过一段时间，等德利涅、法尔廷斯这些大佬相继表态，我再给你在江大安排一场学术报告会，到时候应该能吸引到全世界顶级数学家与会。这段时间，你暂时不用上课了，安心为报告会做准备，PPT最好做得详细一点。“

庞学林笑道：“刘院长，上课倒没什么问题，反正距离正式开课还有几天时间，我每周也就一、三、五有课，给本科生上课，对我而言反而是一种放松。”

刘廷波想了想道：“行，那我就不勉强你了，哈哈，小庞这次多谢你了，刚回母校，就给母校先上了这样一份大礼。”