第一百二十三章 爱因斯坦场方程

“接下来，我将以爱因斯坦引力场方程为例，向大家展示，如何通过庞氏几何对引力场方程进行解析，从而求出该引力场方程的解析解……”

说着，庞学林拿起记号笔，在白板上写下爱因斯坦引力场方程的公式。

Ruv-1/2guvR=8πG/c^4×Tuv

会场内顿时响起了一阵嗡嗡嗡的声音。

爱因斯坦引力场方程？

谁也没想到，庞学林竟然会拿这个方程举例。

这个方程看起来很简单，但是将它展开后，将会得到10个联立的二阶非线性偏微分方程。

如果想要通过这个方程求解这一方程的精确解，其复杂程度足以让任何人都为之变色。

台下，谭浩第一时间就明白了庞学林的想法。

“小庞教授这是要通过攀登一座高山，来证明庞氏几何理论在求解非线性偏微分方程时的优越性呀！”

谭浩眼中流露出一丝震撼之色。

谭浩看过庞学林那篇通过庞氏几何求解非线性偏微分方程的论文，但那篇论文是纯理论性的文章，从根本上告诉大家为什么庞氏几何能求出非线性偏微分方程的解析解。

那种论文，一般专业的数学家看起来都非常吃力，其他领域的学者那就更加不用说了。

因此，假如能在报告会现场，通过庞氏几何的方法，直接对一个经典且难度极高的非线性偏微分方程进行求解，无疑更具说服力。

但问题是，爱因斯坦引力场方程真的可以求出解析解吗？

目前，科学家们只求出了一定条件下的引力场方程精确解，而且只有部分解具备物理学意义。

其中包括史瓦西解、雷斯勒-诺斯特朗姆解、克尔解、托布-NUT解，每一个解都对应着特定类型的黑洞模型；此外还有弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克解、哥德尔宇宙、德西特宇宙、反德西特空间等，每一个解都对应着一个膨胀的宇宙模型。

如果庞学林真的能求出爱因斯坦引力场方程的解析解，那么岂不是意味着该方程的大部分精确解都可以通过解析解求出来？

虽然爱因斯坦引力场方程并非每一个精确解都具有实际物理意义，但毫无疑问，庞学林一旦成功求出引力场方程的解析解，对整个物理学界而言，都有着不小的意义。

一时间，整个礼堂大厅喧闹了起来，所有人均议论纷纷。

“庞教授选什么不好，干嘛要选爱因斯坦引力场方程，这个方程的求解难度可非同一般，更不用说求它的解析解了。”

“是啊，这么做风险太大了，一旦推导过程卡住了，到时候可就麻烦了！”

“我只能说，庞教授太有魄力了，不过如果真让他求出爱因斯坦场方程的解析解，整个物理学界估计都会沸腾起来。”

……

庞学林对这一切并不在意，他干咳一声，继续道：“众所周知，广义相对论的基本观点是时空结构取决于物质的运动及分布。爱因斯坦提出的引力场方程，提现了运动的物质及其分布决定周围的时空性质，对于任意坐标变换，场方程的形式不变。而在弱场情况下与牛顿引力的泊松方程对应。因此，爱因斯坦引力场方程实际上包含了广义相对论的全部内容，下面，我们开始正式对该方程进行解析……”

庞学林拿着记号笔，一边说，一边在白板上对爱因斯坦引力场方程进行解析求解。

……

【假设引力场在时空尺度上均匀，Guv是只依赖于度规及一阶、二阶导数的张量，具有对称守恒，在弱场，能量—动量张量Tuv正比于Guv表达式。Guv=-8πGTuv

可得：①Guv=Ruv-1/2guvR

②Ruv-1/2guvR+λguv=-8πGTuv

常数λ为零，这样可以得出爱因斯坦引力场方程的形式，由从根本上反应物理规律本质的最小作用量原理可以严格导出爱因斯坦作用量方程】

……

【设引力场和物质的作用量分别是Sg和Sm，Sg=∫R√-gdΩ，须满足δSg=0，Ω为整个四维时空区域。则有?∫R√-gdΩ=δ∫Ruvguv√-gdΩ……】

……

庞学林的笔尖在白板上刷刷刷地写着，礼堂内，喧闹声渐渐平静下来。

所有人都将注意力聚焦到白板上。

时间一分一秒过去，白板上渐渐被各种公式填满。

庞氏几何开始展现其强大的解析能力。

【我们可以发现，该方程中，所有量对时间导数都有Rik=0，由(X^0，X^1，X^2，X^3)=(ct，R，θ，Φ)，α，β，γ是关于r的函数，e^γ=1，e^α=1，e^β=r^2，则有……】

……

“我明白了！”

台下，望月新一一拍大腿，眼中流露出欣喜之色。

这几天他一直在研究庞氏几何求解非线性偏微分方程组的论文，但那篇论文实在是过于理论化和概念化，看的时候，望月新一总有点云里雾里的感觉。

直到今天庞学林结合实际案例进行讲解，他才真正理解了庞氏几何求解非线性偏微分方程组的核心思想。

与之相比，在N-S方程问题上浸淫了十几年的佩雷尔曼显然早就理解了庞学林的思路，他淡淡笑道：“庞氏几何的包容性实在是太强了，它通过解构代数簇的方法，重新架构非线性偏微分方程组，忽略其在不同阶段的非线性因素，只寻求其线性条件下的解法。这趟江城之行没有白来。庞教授确实没有让我感到失望。”

另一边，舒尔茨拿起桌上的水杯，轻轻抿了口道：

“这家伙，我真不知道他的脑子是怎么长的？前两天看他那论文的时候，我还感觉有些云里雾里，没想到结合实际案例一分析，我才发现，竟然还可以这样去解析非线性偏微分方程！”

斯蒂克斯点了点头，有些感慨道：“确实如此，也不知道和这样的天才生活在同一年代，是我们的不幸，还是我们的幸运！不过我觉得以后我们的学生可能惨了，庞氏几何很可能成为绝大部分理工科学生研究生阶段的必修课……”

舒尔茨一愣，差点没把嘴里的水给喷出来。

……

除了望月新一、佩雷尔曼、舒尔茨、斯蒂克斯等人外，发布会现场，渐渐有越来越多的数学家理解了庞学林的求解思路。

“天哪，原来还可以这样！”

“庞氏几何，又是庞氏几何！”

“我仿佛看到了当年代数几何教皇格罗滕迪克的身影！”

“真没想到，这家伙真的解决了非线性偏微分方程组的求解问题。”

“以现在的情况来看，大部分非线性偏微分方程问题应该都可以通过庞氏几何得到解决了……目前学术界经典的非线性偏微分方程可不少……”

最后一句话，让周围一圈人为之一静。

不少数学家的眼睛顿时亮了起来。

庞学林这是为大家开启了一个大宝藏啊。

只要尽快理解庞氏几何的核心思想，那岂不是随便一个非线性偏微分方程组的问题，都可以拿来水论文？

而且这种水论文的姿势可一点都不low。

因为每求出一个经典非线性偏微分方程组的解析解，都有可能对科学界、工程界产生重大影响！8)