第四百一十六章 完成证明

数学是庞学林在学术界的立身之本，当初他正是在数学领域一举成名，然后才跨入其他领域，完成了高纯度碳纳米管飞刃材料，大尺寸石墨烯材料，锂空气电池等的研发工作，进而有了如今的学术地位。

因此，探索杂志创刊号，一篇重量级的数学论文是少不了的。

可问题是，该选择哪个方向呢？

过去一年，庞学林大部分精力都被锂空气电池项目以及电磁弹射航天发射系统项目所牵扯，已经有一段时间没有研究过数学问题了。

目前《探索》杂志的编辑部正在组建，按照庞学林的计划，七月份就要正式出版《探索》创刊号。

现在已经是四月五日，距离正式出版还有三个月时间，考虑到排版、印刷等因素，实际时间只有两个月。

想要在如此短时间的内，完成一篇重量级的数学论文，即使他经过改造后，整个人的记忆力，大脑逻辑思维能力得到了大幅度提升，恐怕也很难做到。

至于剩下的第三篇论文，庞学林准备交给石毅、杨和平、安德森·怀特他们解决，动态APT技术的相关理论已经成熟，庞学林将整个技术流程跟他们讲解了一遍，他们完全可以在动态APT相关设备研发出来之前，将这篇论文写出来。

现在唯一麻烦的就是数学论文了。

庞学林沉思片刻，不由得想起了几个月前佩雷尔曼给自己看过的那篇霍奇猜想的论文。

千禧年七大难题级别的数学论文坐镇《探索》杂志创刊号，庞学林不愁《探索》杂志无法打响第一炮。

唯一的麻烦就是，那篇论文虽然整体证明思路可行，但在细节上存在逻辑漏洞。

如何将这个漏洞补上，是庞学林需要面对的问题。

也不知道佩雷尔曼的霍奇猜想现在研究得怎么样了。

庞学林想了想，起身走到了办公室隔壁的套间，对正在忙碌的左亦秋道：“小左，我出去一趟。”

左亦秋微微一愣，疑惑道：“庞教授，你去哪里？”

庞学林笑道：“我去找下佩雷尔曼，说不定又要闭关一段时间，你在这里待着，有重要的事的话直接打我电话。”

“好。”

左亦秋点了点头。

一个多小时后，车子停在了江城大学隔壁玫瑰家园的地下停车场内。

玫瑰家园是江城大学专门为教职工准备的小区，主要给那些在江大工作的外籍学者居住，还有一部分则以折扣价卖给在江城安家的教职工。

庞学林让周辰在楼下等候，下了车。

通过电梯上楼，径直来到1302室门前，按下了门铃。

大约过了10多分钟，胡子拉碴，一脸疲惫的佩雷尔曼打开房门。

看到站在门口的庞学林，佩雷尔曼微微一愣：“庞，你怎么来了？”

庞学林走进屋，笑道：“我过来看看你。”

佩雷尔曼住的是一个二室一厅的房子。

房间还算整洁，这倒不是因为佩雷尔曼会主动打扫，而是江大专门为他聘请了一个家政钟点工。

每隔一天就过来帮他收拾家务，整理卫生。

“来杯咖啡吗？”

庞学林笑着点了点头。

很快，佩雷尔曼端着两杯咖啡放在了茶几上。

庞学林轻轻抿了一口，一股浓香中带着苦涩的味道顺着味蕾迅速传输到中枢神经。

“庞，找我有什么事吗？”

庞学林道：“格里戈里，霍奇猜想怎么样了？”

佩雷尔曼摇了摇头说道：“还是没什么进展。”

在庞学林进入生化危机世界前，佩雷尔曼曾经拿着一份霍奇猜想的论文找到庞学林，当时被庞学林指出这篇论文中存在一个细微的逻辑漏洞。

看样子这么长时间过去了，佩雷尔曼依旧没能找到霍奇猜想的突破口。

庞学林沉吟片刻，说道：“格里戈里，这段时间，江城高等研究院正在筹备一份全新的期刊《探索》。我准备在创刊号加进去，但是前提条件是必须在两个月内将论文的漏洞补齐。而且今年八月就是圣彼得堡国际数学家大会，只要完成这一猜想的证明，我们完全可以将其拿到数学家大会上和全球的同行共同交流嘛……”

佩雷尔曼道：“庞，说实话，这段时间我感觉自己的研究已经走进死胡同了。可能是年纪大了，体力和脑力都有些跟不上了。如果你对霍奇猜想感兴趣，你完全可以在我之前那篇论文上继续做下一步证明，不必征求我的意见。对我而言，只要能证明霍奇猜想就行，至于谁证明的，关系不大。”

庞学林微微一愣，说道：“格里戈里，谢谢你。不过我还是希望你不要放弃对霍奇猜想的研究，毕竟数学研究本身就是一种乐趣，不是么？”

佩雷尔曼闻言笑了起来，说道：“庞教授，既然如此，那我们一同努力吧。”

……

从佩雷尔曼家中出来，庞学林笑着摇了摇头。

他有些着相了。

以佩雷尔曼的性子，自己真的能够帮他完成霍奇猜想的证明，他只会感到高兴，压根就不会有什么多余的想法。

事实上，佩雷尔曼的工作非常卓有成效。

他已经差不多完成了百分之九十五的工作，剩下的百分之五，就是由一个小小的逻辑漏洞所引发的。

佩雷尔曼没办法确定，定向二重覆盖为环面的T2克莱茵瓶，它的空间曲率是否为黎曼流形上的光滑函数。

这个问题很基础，但却是整个霍奇猜想理论大厦的基础性环节。

想要证明霍奇猜想，就不可能绕开它。

在数学上，克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。

如果观察克莱因瓶的图片，可以发现，克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。

但是事实却非如此。

事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。

事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。

用三维扭结来打比方。

如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。

但这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。

在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。

只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。

克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。

在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。

只要证明定向二重覆盖为环面的T2克莱茵瓶的空间曲率为黎曼流形上的一个光滑函数，就可以补齐黎曼猜想证明的最后一个漏洞。

可问题是，该如何证明呢？

接下来的时间里，庞学林再次进入研究状态。

不过这一次，他倒没有专门闭关搞研究。

他有信心，即使有其他事务干扰，他也能够在两个月内完成霍奇猜想最后一块拼图的补齐工作。

这两个月，庞学林一方面开始组建《探索》期刊编辑部。

他自己亲自担任总编，编委也是各个领域内的大佬级人物。

比如柯顿·沃克、石毅、文小刚、望月新一、安德森·怀特、杨和平、佩雷尔曼、徐兴国、李长青等人，都被庞学林拉了进来。

另一方面，庞学林也没放松对霍奇猜想的研究。

基本上每天晚上都要工作到凌晨一两点。

时间一天天过去，不知不觉，就进入了六月份。

这天晚上，庞学林正在书房沉思，齐昕端着一碗银耳莲子红枣羹走了进来。

庞学林听到动静，抬头笑道：“小昕，你早点去睡吧，不用每晚熬到这么晚。”

这段时间，庞学林每天凌晨一两点睡觉，齐昕心疼庞学林，每晚十一点之后，都会变着法子给他熬一些滋补汤药。

齐昕抿嘴笑道：“我没事，你先喝汤吧，过会儿就凉了。”

“好，我马上喝。”

庞学林从齐昕手里接过银耳羹，一边喝，一边和她聊着天。

“阿林，这段时间研究还没进展吗？”

齐昕好奇道。

她很少过问庞学林的工作事务，一直在一旁默默地帮庞学林处理好其他事务。

庞学林摇了摇头，叹道：“还是没什么头绪，时间太赶了，还有十五天，《探索》创刊号就要正式进入印刷厂印刷了，现在创刊号百分之八十的稿子都已经确定，就剩这篇论文没有搞定。”

齐昕皱眉道：“实在不行，那就缓一缓吧。”

庞学林道：“尽力吧，如果霍奇猜想实在搞不定，我就去庞氏几何研讨班那边弄一篇水平还可以的论文拿上去凑数。”

“嗯，那我先去洗澡了，明天还得早起上课，你也早点睡，如果实在找不到突破口，换个思路或者从反向思维入手，说不定就能解决了。”

庞学林微微一愣，“你说什么？”

“我说换个思路或者从反向思维入手啊？”

庞学林眼中闪着莫名的光芒，冲上前去抱着齐昕狠狠地亲了一口，大笑道：“小昕，你真是我的幸运星。”

说着，他也不再理会齐昕，坐会书桌前，拿起笔快速地演算起来。

齐昕看着沉浸在研究中的庞学林，脸上浮现出一丝温婉的笑容，她拿起桌上的空碗，悄无声息地退出了书房。

……

庞学林的大脑在飞速运转。

齐昕的那句反向思维，仿佛一道光，照亮了前方茫茫的夜空。

为什么一定要证明定向二重覆盖为环面的T2克莱茵瓶，它的空间曲率是黎曼流形上的光滑函数呢？

只需要证明定向二重覆盖非环面的T2克莱因瓶，它的空间曲率不是黎曼流形的光滑函数不就行了吗？

过去两个月来的潜心思考，仿佛已经干透了的柴火一般，只需一道火花，就能燃起熊熊的火焰。

庞学林手中的笔尖在纸上飞速运转。

【设M是n维光滑流形，若在M上给定一个光滑的二阶协变张量场g，称(M，g)为一个n维黎曼流形，g称为该黎曼流形的基本张量或黎曼度量，如果满足：1.g是对称的，即：g(X，Y)=g(Y，X)(X，Y∈TpM，p∈M)。2.g是正定的，即：g(X，X)≥0(X∈TpM，p∈M)，且等号仅在X=0时成立……】

……

【设D为二循环有向树图，D0=｛e1，e2｝是顶点集，D1=｛a，c｝是长度为1的有向边的集合，为域K上D的路代数，则H0（C）≌K⊕K，H1（C）=1……】

……

【若e:K→M满足e(1)=M，则δ(e)(a)=am-ma是线性导子。一个1-上循环指的是满足条件f(ab)=f(a)b+af(b)的一个线性映射f:A→M。如果M是A中平方为零的理想，且E/M≌A，则可以通过H2(A，M)是平凡的来研究A通过M得到的代数扩张E……】

……

时间一分一秒过去，不知不觉间，时针指向了凌晨一点。

看着稿纸上满满的数学符号，庞学林脸上露出了如释重负的笑容。

“过去两个月的努力没有白费，霍奇猜想，终于证明了。”

庞学林将稿纸收拾整齐放在一边，起身走出了书房。

客厅里黑黢黢一片，庞学林伸了个懒腰，径直前往三楼的主卧。

主卧很大，有衣帽间、起居室、卫生间、淋浴间、浴缸等等。

庞学林先去泡了半小时的澡，让全身的肌肉都放松了一下，随后，他才吹干头发，来到床前，悄悄掀开被子，钻进被窝。

庞学林正准备睡觉，一条雪白的藕臂环了过来。

齐昕黑白分明的眼睛一眨不眨地盯着庞学林。

庞学林微微一愣，看着齐昕娇美的脸蛋道：“小昕，我是不是刚刚吵醒你了？”

齐昕摇了摇头，问道：“那个难题，你搞定了？”

庞学林笑着点了点头。

齐昕翻身上马，坐在了庞学林身上，眼波如水道：“阿林，我们好久没……”

“唔……”8)