第四百二十二章 提出问题和解决问题

庞学林笑了笑，说道：“这个套娃，其实是……”

“咳咳……”一旁的左亦秋，突然干咳了两声。

“其实是我自己买的，我看你送我的套娃挺漂亮，就又去买了一个……”

说完，庞学林朝着左亦秋眨了眨眼。

左亦秋白皙的脸蛋迅速泛起了一丝红晕，连耳根子都红透了。

艾艾压根没反应过来，疑惑道：“可是你昨天不是没有出门吗？”

“我委托望月新一教授帮我买的。”

“哦！”

艾艾隐隐感觉自己师傅没有对自己说实话，不过她又不是庞学林什么人，一时间也不好多问。

她倒没有怀疑左亦秋，平日里左亦秋对庞学林的态度向来是公事公办，基本上没有表现出什么特别的异样。

更重要的是，她能感觉到，左亦秋对自己师父混乱的感情生活，是带点鄙视的。

砰砰砰——

这时，门口再次响起一阵敲门声，三人循声望去，便看到一个摄影记者和一个负责采访的女记者站在了门口。

“庞教授，我是央视记者刘晓林，现在方便接受一下采访吗？”

庞学林微微一愣，这才想起自己这次获奖，恐怕会在国内媒体上掀起不小的波澜。

他笑着说道：“行，你们进来吧。”

这时，左亦秋说道：“好了，艾艾，庞教授还有事要忙呢，我们就不要打扰他了。”

“嗯，师傅那我们先回房间了。”

庞学林笑着说道：“去吧去吧。”

艾艾率先出门，左亦秋则跟在了她的身后。

临到出门的时候，左亦秋忍不住回头看了庞学林一眼，两人目光相触，见庞学林只是浅笑看着她。左亦秋连忙收回自己的目光，心脏却忍不住砰砰砰的剧烈跳动起来。

庞学林笑着摇了摇头，真想不明白，这两姑娘一个有些呆萌，另一个看起来有点小心计，脸皮却薄得不行，也不知道她们两个怎么会成为闺蜜的。

随后，庞学林将目光转向刘晓林道：“刘记者，现在是中午十二点半，下午还有个报告会，还得花上一小时左右准备，所以我只能给你10分钟时间。”

刘晓林笑着说道：“庞教授，十分钟可以了，圣彼得堡和国内时差五小时，现在是首都时间下午五点半，我们这段采访，稍后将会在今晚的新闻联播中直接播出。”

“行，那我们现在开始吧。”

庞学林在起居室的沙发上坐下，摄影记者也将摄像头对准了庞学林，采访正式开始。

“庞教授，能说一下获奖时的感受吗？”

庞学林笑了起来，说道：“能够获奖不算意外吧，唯一让我有些意外的是国际数学联合会竟然会搞出一个菲尔兹特别奖出来，这让我感觉很荣幸，也很开心。”

刘晓林说道：“庞教授，您是有史以来第一位同时获得菲尔兹奖和诺贝尔奖的科学家，为我们国家赢得了巨大的荣誉，请问您是如何平衡数学与其他学科的研究工作呢？”

庞学林笑了笑，说道：“在学术界有一句话是这样说的，数学是科学的皇后，又是科学的仆人。很多物理，化学甚至生物学的问题，都可以用数学方法去解决，都得听从数学的指导。这就是数学是科学的皇后的由来。但与此同时，数学又是为自然科学服务的，是我们用来认识客观世界的工具，所以说它是科学的仆人。对我而言数学是根本，同时也是兴趣所在，因此没有所谓的平衡一说，至少对我而言，在研究其他领域的问题时，并不会影响到我对数学的研究……”

“庞教授，您获奖的消息传回国内后，在网上引发了巨大的轰动，有很多年轻的大学生都以您为榜样，将您作为他们的精神导师。请问你有什么话对他们说的吗？”

庞学林沉吟片刻，笑着说道：“非常感谢大家的支持，我们国家未来的发展，人民生活水平的提高，都依托于生产力的提升。而科学技术恰恰是第一生产力，我希望我们能有越来越多的年轻人进入科研领域，同时有更多的人能够在应付生活琐事的同时，有那么一些时间，抬头看看我吗头顶的天空……”

……

接下来，庞学林又回答了刘晓林几个问题，才算结束这次简短的采访。

刘晓林他们离开后，庞学林并没有直接开始准备下午的报告，而是拿出手机，看了下网上的反应。

各大媒体的报道自然不必说，基本上都是一片欢呼声。

人民网：“今天，第二十九届国际数学家大会开幕式在俄罗斯圣彼得堡顺利召开，庞学林教授荣获菲尔兹特别奖，成为史上第一位荣获该奖项的中国籍数学家。”

新浪网：“菲尔兹特别奖为庞学林教授量身定制，地位远高于普通的菲尔兹奖，庞教授问鼎当代数学界第一人王座。”

观察者：“菲尔兹特别奖？庞学林奖？不管如何，庞学林教授已经将自己的名字载入数学史册。”

腾讯新闻：“既是获奖者又是颁奖人，国际数学联合会为庞学林教授量身定制全新奖项，并且以庞教授的名字命名，庞学林教授获得了全球数学家的尊敬与爱戴。”

……

相比于各大新闻媒体，社交平台上的报道要夸张许多。

在微博热搜，从第一条到第五条，再次被庞学林一个人霸占，分别是菲尔兹特别奖，庞学林奖，颁奖典礼差点翻车，庞学林获得菲尔兹特别奖，罗伯特·朗兰兹高度评价庞教授成就等等。

与此同时，庞学林的个人微博则，早就被各类沙雕网友给占领了。

其中，点赞最高的一条评论是这样的。

“庞教授能把菲尔兹奖奖章拍照发上来让我们见识一下不？”

“哈哈，全程观看了颁奖典礼的现场直播，差点还以为庞教授的菲尔兹奖凉凉了。幸好我坚持看了下去，庞教授牛逼……”

“庞教授的获奖感言挺有意思的，，可惜关于学术部分，我一个字都没听懂。”

“不知道大家发现没，一开始，罗伯特·朗兰兹公布的获奖名单中，没有庞学林教授的名字，整个会议大厅都差点给炸了，由此可以想象庞学林教授在国际数学界获得的认可度有多高了。”

……

庞学林大概翻了翻微博上的评论，想了想，然后起身找到了自己那枚菲尔兹特别奖金质奖章，正反面各拍了张照片，发到了微博上。

然后，庞学林便不再理会自己已经彻底沸腾的个人微博，开始准备起来一小时后的报告会。

若是换作常人，这样一场超高规格的数学报告会准备时间短则十天半个月，长则几个月都有可能。

只不过经过系统改造后，庞学林无论是记忆力，思维能力还是神经反应速度都有了大幅度提升。

因此，他也不需要做那么细致的准备，只需要将自己要讲的内容，列个提纲就行了。

一个小时后，下午一点四十，庞学林从房间出来，前往报告会会场。

等庞学林抵达的时候，整个报告会大厅为来自全球各地的数学家挤得满满当当。

在现场热烈的掌声中，庞学林走上台，所有人都将目光聚焦到了他的身上。

看着台下的众人，庞学林说道：“大家好！一百二十二年前，德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎国际数学家代表大会上，发表了一篇著名的演讲，演讲中他所提出的希尔伯特二十三问，指引着整个二十世纪数学的发展，有些问题至今还末解决，比如著名的黎曼猜想，这些都成为我们殚精竭虑的焦点。历史教导我们，科学的发展，具有连续性，每个时代都有每个时代的问题。这些问题将为后来者提供一个全新的方向。一百多年过去了，我认为现在是时候对我们所面临的一些问题，进行正式的检阅了。一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去，更是要让我们的思想适应那未知的将来。”

“在数学中，提出问题往往比解决问题要来得更为重要。我们现在面临这样一个问题，数学这门学科，究竟以什么作为问题的源泉？在那些数学分支中，那些最初最古老的问题，肯定起源于经验，由外部现象分析整理提出，整数运算法则就是以这种方式在人类文明的早期被发现的。正如今天的少年儿童通过经验的方法来学习和运算，这些规则一样对于最初的几何问题，诸如自古相传的二倍立方问题，化圆为方问题等等，情形也是如此。同样的还有数值方程的解，曲线论微积分，傅立叶级数和魏氏理论中的那些最初问题，更不用说，大量属于化学、物理学、天文学、生物学等方面的问题了。”

“但是，随着数学分支的进一步发展和细化。我们开始接触逻辑组合，一般化特殊化等方法，巧妙的对概念进行分析和综合，提出富有成果的问题。这样就产生了素数问题、多项式方程组的有效求解问题、离散对数的求解、单向函数的存在等的问题。”

“至于对一个数学问题的解答应该提出怎样的一般要求，我认为，我们首先是要有可能通过以有限的前提为基础的有限步骤推理，来证明问题的正确性，而这些前提包含在问题的陈述中，并且必须对每个问题都有确切的定义。这种借助有限推理进行逻辑演绎的要求，简单的说，就是对于证明过程的严格性的要求，这种严格性要求在数学中已经像座右铭一样变得众所周知。另一方面，只有满足这样的要求，问题的思想内容和它丰富的含义才能充分体现。一个新的问题，特别当它来源于外部经验世界时，就像一株幼嫩的树苗，只需要我们小心的按照严格的园艺学规则将它移植到已有的老干上去，它就会茁壮的成长，并且开花结果。”

“因此，今天我将就以我浅薄的学识，谈一谈当下我们数学的发展，将要面临的一些问题。”

庞学林的话音落下，现场不由得响起了一阵嗡嗡嗡的声音。

几乎所有人都震惊地看着庞学林。

谁也没想到，庞学林在这场报告会上，做出这样的演讲。

他这是要效仿一百多年前的大卫·希尔伯特，为数学在未来的发展指明方向吗？

现场不由得响起了一阵嗡嗡嗡的声音。

所有人脸上都流露出兴奋的表情。

没人觉得庞学林没有这个资格。

事实上，虽然数学发展到如今，各个分支正在一步步细化。

但数学领域几乎所有的进步，都是伴随着问题的提出与解决。

从一百多年前大卫·希尔伯特提出希尔伯特二十三问，到六十多年前罗伯特·朗兰兹提出的朗兰兹纲领，再到二十多年前美国克雷数学研究所提出的千禧年七大猜想。

每一次问题的解决都为数学的发展指明了方向，提供了全新的动力。

特别是近年来，随着庞氏几何理论的出现与快速发展，BSD猜想，ABC猜想，波利尼亚克猜想，霍奇猜想等相继得到解决，数学界需要一个领军人物站出来，为未来的发展指明方向。

作为庞氏几何理论的创造者，庞学林无疑是再合适不过的一个人选。

台下。

德利涅对坐在自己身旁的法尔廷斯道：“法尔廷斯，我有种预感。”

“什么预感？”

“这个年轻人，将来的成就可能会远远超越我的老师，”

法尔廷斯不由得吃了一惊。

当下数学界虽然予以庞学林高度评价，但基本上还是将他与上世纪的格罗滕迪克对等看待。

即使在法尔廷斯眼中，庞学林也是一个年轻版的格罗滕迪克。

“皮埃尔，你为什么会这么说？”

法尔廷斯好奇道。

德利涅扭头看了法尔廷斯一眼，微笑道：“我从他眼中看到了热情和野心，他现在才二十五岁，至少还有二十年的巅峰期，你能想象，二十年内他能做出多少成就吗？就算他彻底统一了代数与几何这两大基础学科，也并不让我感觉到意外。”

庞学林没有理会台下的喧闹声，微微一笑，说道：“我觉得在未来的一百年，以下问题将是我们数学界急需解决的一些难题。第一，岩泽理论的主猜想。”

“数论中，岩泽理论是理想类群的伽罗瓦模理论，是日本数学家岩泽健吉在1950年末期发展起来的一套研究数域（即Q的有限扩张）的Zp扩张的算术性质的理论，最常见的Zp扩张是所谓的分圆Zp扩张。这类域是德国数学家库默尔为证明费马大定理而首先研究的。事实上，如果整数环Z[C?]是唯一分解环，那么在证明费马大定理的征途中就不会遇到那么多的困难。

分圆Zp扩张就是下述分圆域的扩张：

K=Q(CP)C…CKn=Q(C；+1)??CXoo=Q(CP~)，

其中KJK的伽罗瓦群Gn就是循环群对任意aZ/pnZ，aa(CP)=CpV由伽罗瓦理论，K/K的伽罗瓦群G是G?的射影极限，即p进整数环Zp。

……

岩泽主猜想(或称主猜想，即岩泽理论的主要猜想）是说：ch(A)=ch(s/C)。可以看出，A说明的是数域的理想类群，是一个纯粹的代数对象.而分圆单位本质上是一个解析对象。事实上，令((P，s)=C(s).(1-p~s)=∑1/n^s，此函数称为V进C函数，它是上是连续函数，并且其在负整数处的值可以用的一个首一多项式的插值来表示。

P进函数是p进i函数的一个例子，它体现了对应数域的解析性质。

Coates-Wiles和Coleman在明显互反律的工作表明上述多项式和ch(f/C)只是相差一个固定多项式。所以我们知道主猜想是关于分圆域的代数性质和解析性质的深刻联系的猜想.

岩泽理论从诞生一开始就是数论研究的重要工具。在1972年，Mazur建立了椭圆曲线的岩泽理论，并提出了虚二次域上的主猜想.后来人们又提出了许多其他形式的主猜想，包括motive上的主猜想等。p进伽罗瓦表示上的岩泽理论的研究对于p进BSD猜想、Serre猜想等都非常重要.

1983年，Mazur和Wiles使用深刻的代数几何办法证明了岩泽主猜想。利用科利瓦金的欧拉系的办法，Rubin证明了虚二次域上的主猜想，并给出了分圆域主猜想一个新的证明。

而其他形式的主猜想依旧是数论和算术代数几何研究的热点内容。”

……

“第二个问题，霍普夫（HOPF）猜想。”

“整体微分几何的核心问题之一是研究局部不变量和整体不变量的关系，研究曲率和拓扑的关系。

我们来考察曲面S，它上面有度量，也就有Gauss曲率K，如果曲面是紧致无边的话，Gauss曲率K就可以在整个曲面上进行积分。一个曲面不一定只容有一个度量，可以有另外一个度量，换了度量以后，相应的Gauss曲率K也就变了，但积分值与曲面的度量无关，而只与曲面的Euler不性数x(*5)有关。

这就是Gauss-Bonnet公式所揭示的深刻内涵。

对高维黎曼流形M，Gauss曲率可以推广为截面曲率，它由黎曼曲率张量所决定，被积函数是由曲率张量组成的很复杂的代数式子，称为Gauss-Bonnet被积函数，它在整个流形上的积分，应该由这个流形的Euler示性数所决定。它的内蕴证明是陈省身得到的，后来就称为Gauss_Bonnet-陈公式。

对紧致无边的偶数维流形M2“，如果它容有非正截面曲率的黎曼度量，那么，它的Euler示性数满足

(-l)nX(M2n)0(1)(当截面曲率为负时，上式为严格不等式)。

这就是著名的Hopf猜想。

迄今，Hopf猜想仅在一些附加条件下得到验证，如截面曲率夹在两个负常数间有工作：Bourguignon-KarcherPl，Donnelly-Xavier以及Jost-Xin间。

Borel对非紧型秩1对称空间证实了猜想。

如果，流形具有KShler度量，在负截面曲率情形，猜想已被Gromov所证实，在非正截面曲率情形则被Jost-Zuc以及Cao-Xavier所证实。”

……

“第三个问题，卡普兰斯基第六猜想。”

“卡普兰斯基第六猜想是卡普兰斯基在1975年提出的关于霍普夫代数的十个猜想之一，也是目前霍普夫代数乃至代数学领域研究的前沿问题之一。霍普夫代数起源于二十世纪四十年代，主要是由霍普夫对Lie群的拓扑性质的公理性研究而建立的一种代数系统。

二十世纪六十年代，Hochschild-Mostow在研究Lie群的应用及后续研究中，发展和丰富了霍普夫的这一代数系统的理论，奠定了霍普夫代数理论的基本框架。

二十世纪八十年代，随着Drinfeld和Jimbo等数学家建立的量子群理论的兴起，人们发现量子群是一类特殊的霍普夫代数。量子群理论与众多其他数学领域，如低维拓扑、表示论以及非交换几何以及统计力学精确可解模型理论、二维共形场论、角动量量子理论等有着紧密的联系。

量子群理论的兴起也促进了霍普夫代数理论的迅猛发展，围绕卡普兰斯基的十个猜想取得了许多精彩的研究成果，导致其中若干猜想的解决或部分解决。

卡普兰斯基第六猜想设H是代数闭域上的有限维半单霍普夫代数，则H的任一不可约表示的维数整除H的维数.

这一猜想与有限维半单霍普夫代数的分类紧密相关，吸引了众多代数学家的兴趣。

Zhu在1993年利用特征标理论研究了卡普兰斯基第六和第八猜想，得到了部分结果。

他证明了：若char⑷=0，H半单且R(H)在H的对偶代数的中心中，其中R(H)为H的不可约特征标所张成的JI*的子代数，则卡普兰第六猜想成立。

Nichols和Richmond在1996年通过分析H的格罗滕迪克群的环结构证明:若H是余半单的且有一个2-维单余模，则H是偶数维的。

1998年，Etingof和Gelaki在研究拟三角半单余半单霍普夫代数的结构和提升问题时证明W:若丑是半单余半单Hopf代数，D{H)是H的Drinfelddouble，则D(H)的不可约表示的维数整除H的维数。

由此他们证明：如果H是拟三角的半单余半单霍普夫代数，则H的不可约表示的维数整除的。”8)